Question

4．如果x=[x]+{x}，[x]∈Z，0≤{x}＜1，就稱[x]表示x的整數部分，{x}表示x的小數部分．已知數列{a_n}滿足a₁=$\sqrt{5}$，a_n+1=[a_n]+$\frac{2}{\{{a}_{n}\}}$，則a₂₀₁₇-a₂₀₁₆等于（　　）

• A． 2017+$\sqrt{5}$
• B． 2016-$\sqrt{5}$
• C． 6-$\sqrt{5}$
• D． 6+$\sqrt{5}$

Answer 1

分析 通過寫出前幾項，歸納可以得出結論．

解答 解：∵a₁=$\sqrt{5}$，a_n+1=[a_n]+$\frac{2}{\{{a}_{n}\}}$，
∴a₂=2+$\frac{2}{\sqrt{5}-2}$=6+2$\sqrt{5}$，a₃=10+$\frac{2}{2\sqrt{5}-4}$=12+$\sqrt{5}$，a₄=14+$\frac{2}{\sqrt{5}-2}$=18+2$\sqrt{5}$，a₅=24+$\sqrt{5}$，
由此可得，a₂₀₁₇-a₂₀₁₆=6-$\sqrt{5}$，
故選C．

點評 本題考查了數列遞推關系、等差數列的通項公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．