Question

2．定義在R上的函數(shù)f（x）=|2x+5|+|2x-1|≥a恒成立，
（1）求a的最大值；
（2）若m，n，p是正實數(shù)，且滿足m+n+p=1，求證：mn+np+mp≤$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 （1）利用絕對值的幾何意義，求出表達(dá)式的最小值，即可得到a的最大值．
（2）通過平方，利用基本不等式證明即可．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=|2x+5|+|2x-1|≥|2x+5-2x+1|=6，
定義在R上的函數(shù)f（x）=|2x+5|+|2x-1|≥a恒成立，
可得a≤6，a的最大值為：6．
（2）證明：∵（m+n+p）²=m²+n²+p²+2mp+2np+2nm=1．
∵m，n，p是正實數(shù)，m²+n²≥2mn，n²+p²≥2np，m²+p²≥2mp，
∴m²+n²+p²≥mp+np+nm，
∴m²+n²+p²+2mp+2np+2nm≥3mp+3np+3nm．．
∴（m+n+p）²≥3mp+3np+3nm，
∴mn+np+mp≤$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查絕對值的幾何意義，不等式的證明，考查計算能力．