Question

7．設命題p：函數f（x）=x³-ax-1在區間[-1，1]上單調遞增；命題q：函數y=ln（ax²+x+1）的值域是R．如果“（￢p）∧q”為真，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 如果“（￢p）∧q”為真，則p假，q真，進而得到實數a的取值范圍．

解答 解：若函數f（x）=x³-ax-1在區間[-1，1]上單調遞增；
則數f′（x）=3x²-a≥0在區間[-1，1]上恒成立，
即a≤3x²在區間[-1，1]上恒成立，
解得：a≤0，
故命題p：a≤0，
若函數y=ln（ax²+x+1）的值域是R．
則a=0，或$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\△=1-4a≥0\end{array}\right.$，
解得：0≤a≤$\frac{1}{4}$，
即命題q：0≤a≤$\frac{1}{4}$，
如果“（￢p）∧q”為真，
則p假，q真，
故0＜a≤$\frac{1}{4}$

點評 本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查了復合命題，利用導數研究函數的單調性，函數恒成立問題等知識點，難度中檔．