Question

【題目】設是由個實數組成的行列的數表，滿足：每個數的絕對值不大于，且所有數的和為零，記為所有這樣的數表組成的集合，對于，記為的第行各數之和（剟 ），為的第列各數之和（剟），記為， ， ， ， ， ， ， 中的最小值．

（）對如下數表，求的值．

（）設數表形如：

求的最大值．

（）給定正整數，對于所有的，求的最大值．

Answer 1

【答案】（）．（）．（），

【解析】試題分析：（1）根據題目對新數表A和的定義代入已知數值即可得到的值；

（2）本問直接求的最大值比較困難，但可先做猜想，然后采用反證法證明即可得最大值為1；

（3）此問也是先根據特殊猜想的值，然后通過構造滿足題意的A，后面在證明所取的值即為最大值時采用反證法。

試題解析：（）由題意可知， ， ， ， ，

∴．

（）先用反證法證明，

若，則，

∴，

同理，

∴，

由題目所有數之和為，即，

∴，與題目條件矛盾，

∴，

易知當時， 存在，

∴的最大值是．

（）的最大值是，

首先構造滿足的，

， ，

， ，

經計算知， 中每個元素的絕對值都小于，所有元素之和為，且 ，

，

，

下面證明是最大值，若不然，則存在一個數表，使得，

由的定義知的每一列兩個數之和的絕對值都不小于，而兩個絕對值不超過的數的和，其絕對值不超過，故的每一列兩個數之和的絕對值都在區間中，由于，故的每一列兩個數符號均與列和的符號相同，且絕對值均不小于．

設中有列的列和為正，有列的列和為負，由對稱性不妨設，則， ，另外，由對稱性不妨設的第一行行和為正，第二行行和為負．

考慮的第一行，由前面結論知的第一行有不超過個正數和不少于個負數，每個正數的絕對值不超過（即每個正數均不超過），每個負數的絕對值不小于（即每個負數均不超過），因此

，

故的第一行行和的絕對值小于，與假設矛盾．因此的最大值為．