Question

【題目】如圖，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AD＝CD＝AB＝2，將△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到幾何體DABC.

(1)求證：AD⊥平面BCD；

(2)求三棱錐CABD的高．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題分析:(1)先根據勾股定理得AC⊥BC. 再根據面面垂直性質定理得BC⊥平面ACD，即得AD⊥BC. 最后根據線面垂直判定定理得結論(2)因為BC⊥平面ACD，所以根據等體積法以及錐體體積公式即得結果

試題解析:解：(1)證明：由已知得AC＝2，BC＝2，又AB＝4，∴AC2＋BC2＝AB2，∴AC⊥BC.

又∵平面ADC⊥平面ABC，

∴BC⊥平面ACD，∴AD⊥BC.

又AD⊥CD，BC∩CD＝C，∴AD⊥平面BCD.

(2)由(1)得AD⊥BD，

∴S△ADB＝×2×2＝2，

∵三棱錐BACD的高BC＝2，

S△ACD＝×2×2＝2，

∴×2h＝×2×2，解得h＝.

∴三棱錐CABD的高為.

點睛:立體幾何中折疊問題,要注重折疊前后垂直關系的變化,不變的垂直關系是解決問題的關鍵條件.