Question

【題目】已知橢圓E： （a﹥b﹥0）的一個焦點與短軸的兩個端點是正三角形的三個頂點，點在橢圓E上.

（Ⅰ）求橢圓E的方程；

（Ⅱ）設不過原點O且斜率為的直線l與橢圓E交于不同的兩點A，B，線段AB的中點為M，直線OM與橢圓E交于C，D，證明：|MA|·|MB|=|MC|·|MD|.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析.

【解析】試題分析：本題考查橢圓的標準方程及其幾何性質，考查學生的分析問題、解決問題的能力和數形結合的思想.第（Ⅰ）問，利用點在橢圓上，列出方程，解出b的值，從而得到橢圓E的方程；第（Ⅱ）問，利用橢圓的幾何性質，數形結合，根據根與系數的關系進行求解.

試題解析：（Ⅰ）由已知，a=2b.

又橢圓過點，故，解得.

所以橢圓E的方程是.

（Ⅱ）設直線l的方程為， ，

由方程組得，①

方程①的判別式為，由，即，解得.

由①得.

所以M點坐標為，直線OM方程為，

由方程組得.

所以.

又

.

所以.