Question

4．已知函數f（x）=a-$\frac{2}{{{2^x}+1}}$，其中a為實數．
（Ⅰ）求a的值，使函數f（x）為奇函數；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的基礎上，求不等式f（x）＞$\frac{1}{2}$的解集．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 有f（0）=a-1=0，求得實數a的值，檢驗滿足條件．
（Ⅱ）不等式f（x）＞$\frac{1}{2}$，即1-$\frac{2}{{{2^x}+1}}$＞$\frac{1}{2}$，即 $\frac{3{-2}^{x}}{2•{（2}^{x}+1）}$＜0，即 2^x＞3，由此求得x的范圍．

解答 解：（Ⅰ）要使函數f（x）=a-$\frac{2}{{{2^x}+1}}$ 為奇函數，須有f（0）=a-1=0，∴實數a=1．
經過檢驗，a=1時，滿足f（-x）=-f（x），f（x）為奇函數，∴f（x）=1-$\frac{2}{{{2^x}+1}}$．
（Ⅱ）不等式f（x）＞$\frac{1}{2}$，即1-$\frac{2}{{{2^x}+1}}$＞$\frac{1}{2}$，即 $\frac{3{-2}^{x}}{2•{（2}^{x}+1）}$＜0，∴2^x＞3，∴x＞log₂3，．
故原不等式的解集為（log₂3，+∞）．

點評 本題主要考查奇函數的定義和性質，分式不等式、指數不等式的解法，屬于中檔題．