Question

15．某公司擬資助三位大學生自主創業，現聘請兩位專家，獨立地對每位大學生的創業方案進行評審．假設評審結果為“支持”或“不支持”的概率都是$\frac{1}{2}$．若某人獲得兩個“支持”，則給予10萬元的創業資助；若只獲得一個“支持”，則給予5萬元的資助；若未獲得“支持”，則不予資助，令ξ表示該公司的資助總額．
（1）寫出ξ的分布列；
（2）求隨機變量ξ的均值E（ξ）和方差D（ξ）．

Answer 1

分析 （1）由題意知ξ表示該公司的資助總額，ξ的所有取值為0，5，10，15，20，25，30．分別求出相應的概率，由此能求出ξ的分布列．
（2）由ξ的分布列能求出E（ξ）和D（ξ）．

解答 解：（1）由題意知ξ表示該公司的資助總額，ξ的所有取值為0，5，10，15，20，25，30．
ξ的所有取值為0時，表示沒有人受到資助，則每一個人都不受到支持，
P（ξ=0）=（$\frac{1}{2}$）⁶=$\frac{1}{64}$，
P（ξ=5）=${C}_{6}^{1}（\frac{1}{2}）（\frac{1}{2}）^{5}$=$\frac{3}{32}$，
P（ξ=10）=${C}_{6}^{2}（\frac{1}{2}）^{2}（\frac{1}{2}）^{4}$=$\frac{15}{64}$，
P（ξ=15）=${C}_{6}^{3}（\frac{1}{2}）^{3}（\frac{1}{2}）^{3}$=$\frac{5}{16}$，
P（ξ=20）=${C}_{6}^{4}（\frac{1}{2}）^{4}（\frac{1}{2}）^{2}$=$\frac{15}{64}$，
P（ξ=25）=${C}_{6}^{5}（\frac{1}{2}）^{5}（\frac{1}{2}）$=$\frac{3}{32}$，
P（ξ=30）=${C}_{6}^{6}（\frac{1}{2}）^{6}$=$\frac{1}{64}$．
∴ξ的分布列為：

ξ	0	5	10	15	20	25	30
P	$\frac{1}{64}$	$\frac{3}{32}$	$\frac{15}{64}$	$\frac{5}{16}$	$\frac{15}{64}$	$\frac{3}{32}$	$\frac{1}{64}$

（2）由ξ的分布列得：
E（ξ）=0×$\frac{1}{64}$+5×$\frac{3}{32}$+10×$\frac{15}{64}$+15×$\frac{5}{16}$+20×$\frac{15}{64}$+25×$\frac{3}{32}$+30×$\frac{1}{64}$=15．
D（ξ）=（0-15）²×$\frac{1}{64}$+（5-15）²×$\frac{3}{32}$+（10-15）²×$\frac{15}{64}$+（15-15）²×$\frac{5}{16}$+（20-15）²×$\frac{15}{64}$+（25-15）²×$\frac{3}{32}$+（30-15）²×$\frac{1}{64}$=37.5．

點評 本題考查離散型隨機變量的分布列、數學期望、方差的求法，是中檔題，根據題意寫出變量的可能取值，結合每一個變量對應的事件，寫出變量對應的概率，即離散型變量的分布列，根據分布列寫出變量的期望值和方差．