Question

14．求滿足下列條件的概率：
（1）若mn都是從集合{1，2，3}中任取的數字，求函數f（x）=x²-4mx+4n²有零點的概率；
（2）若mn都是從區間[1，4]中任取的數字，在區間[0，4]內任取個實數x，y，求事件“x²+y²＞（m-n）²恒成立”的概率．

Answer 1

分析 （1）利用古典概型的概率公式，利用列舉法進行求解即可；
（2）利用幾何概型的概率公式，求出對應的面積進行求解即可．

解答 解：（1）設函數f（x）有零點為事件A，m，n都是從集合{1，2，3}中任取的數字，依題意得
所有的基本事件為（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3），其中第一個數表示m的取值，第二個數表示n的取值，即基本事件總數為N=9
若函數f（x）=x²-4mx+4n²有零點則△=16m²-16m²≥0，等價于m≥n
事件A所含的基本事件為（1，1），（2，1），（2，2），（3，1），（3，2），（3，3），
則M=6，P（A）=$\frac{6}{9}$=$\frac{2}{3}$     
（2）設在區間[0，4]內任取兩個實數x，y，“x²+y²＞（m-n）²恒成立”為事件C則事件C等價于“x²+y²＞9”，（x，y）可以看成平面中的點，則全部結果所構成的區域Ω={（x，y）|0≤x≤4，0≤y≤4，x，y∈R}，
而事件B所構成的區域B={（x，y）|x²+y²＞9，（x，y）∈Ω}．如圖所示（陰影部分表示事件C）
S_Ω=4×4=16，S_C=16-$\frac{9π}{4}$，
∴P（C）=$\frac{16-\frac{9π}{4}}{16}$=1-$\frac{9}{64}$π

點評 本題主要考查古典概型和幾何概型概率的計算，利用列舉法以及轉化法是解決本題的關鍵．