Question

3．已知函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1，x為有理數}\\{0，x為無理數}\end{array}\right.$，給出下列三個命題：
①函數f（x）為偶函數；
②函數f（x）是周期函數； 
③存在x_i（i=1，2，3），使得（x_i，f（x_i））為頂點的三角形是等邊三角形．
其中正確命題的個數是（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 ①由偶函數的定義進行判斷．
②由周期函數的定義證明
③由解析式做出大致圖象：根據圖象進行判斷即可．

解答 解：函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1，x為有理數}\\{0，x為無理數}\end{array}\right.$，
對于①，定義域為R，x為有理數，-x為有理數，
f（-x）=1=f（x）；
x為無理數，-x為無理數，
f（-x）=0=f（x），
則f（-x）=f（x），x∈R，
則f（x）為偶函數；
對于②，存在非零有理數T，
當x為有理數時，x+T為有理數，
f（x+T）=1=f（x）；
當x為無理數時，x+T為無理數，
f（x+T）=0=f（x）；
則f（x）為周期函數；
對于③，設三個點（x₁，0）（x₂，1）（x₃，0），
且x₁+x₃=2x₂，x₃-x₂=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，比如x₁=1-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，x₂=1，x₃=1+$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
易滿足三點構成三角形是等邊三角形，故③正確．
故正確的個數為3．
故選：D．

點評 本題主要考查了特殊函數的性質的理解和運用，考查函數的奇偶性和周期性，屬于中檔題．