Question

11．如圖，已知四邊形ABDC是圓O的內接四邊形，B，D是圓O上的動點，AD與BC交于F，圓O的切線CE（C為切點）與線段AB的延長線交于E，∠BCD=∠CBD．
（1）證明：CD是∠BCE的平分線；
（2）若AD過圓心，BC=BE，AE=2，求AB的長．

Answer 1

分析 （1）由CE是圓的切線，可得∠ECD=∠CBD，又∠BCD=∠CBD，即可證明．
（2）由AD為直徑，易得BD⊥AB，AC⊥CD，AC=AB，AC=EC=AB，由切割線定理得BC²=AE•BE，即可得出．

解答 （1）證明：∵CE是圓的切線，∴∠ECD=∠CBD，又∠BCD=∠CBD，
∴∠ECD=∠BCD，CD是∠BCE的平分線．
（2）解：∵AD為直徑，易得BD⊥AB，AC⊥CD，AC=AB，
∵BC=BE，∴∠=BEC=∠BCE=EAC，∴AC=EC=AB，
由切割線定理得BC²=AE•BE，即AB²=AE•（AE-AB），
即AB²+2AB-4=0，解得AB=$\sqrt{5}$-1．

點評 本題考查了圓的切線的性質、切割線定理、角平分線的性質、等腰三角形的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．