Question

9．已知A（-1，0），B（0，2），動點P（x，y），S_△PAB=S．
（1）若l∥AB，且l與AB的距離為$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，求l的方程；
（2）若x∈[0，2]，y∈[0，2]，求S≤1的概率．

Answer 1

分析 （1）根據截距式方程求出直線AB的方程，根據直線l∥AB，以及兩平行直線的距離公式，即可求出；
（2）利用幾何概型的概率公式，求出對應的面積進行求解即可．

解答 解：（1）A，B所在直線的方程為$\frac{x}{-1}$+$\frac{y}{2}$=1，即2x-y+2=0，
∵若l∥AB，且l與AB的距離為$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，設l的方程為2x-y+m=0，
根據兩平行線的距離公式d=$\frac{|m-2|}{\sqrt{5}}$=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，解得m=0或4，
∴l的方程為2x-y=0或2x-y+4=0，
（2）由x∈[0，2]，y∈[0，2]，可作出所有P（x，y）表示的平面區域C如圖
S_△PAB=S=$\frac{1}{2}$|AB|d≤1•|AB|=$\sqrt{5}$，
∴d≤$\frac{2}{\sqrt{5}}$，
由（1）知符合要求的點的區域為2x-y=0和x≥0及y≤2的公共區域
可解得2x-y=0與y=2的交點為（1，2）
其面積為S′=$\frac{1}{2}$×2×1=1
∴由幾何概型可知：P（A）=$\frac{1}{4}$

點評 本題主要考查直線方程和幾何概型概率的計算，利用轉化法是解決本題的關鍵．