Question

14．已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的左頂點(diǎn)與拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)的距離為4，且雙曲線的一條漸近線與拋物線的準(zhǔn)線的交點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，-1），則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（　　）

• A． $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{4}=1$
• B． $\frac{x^2}{8}-\frac{y^2}{4}=1$
• C． $\frac{x^2}{4}-{y^2}=1$
• D． $\frac{x^2}{2}-{y^2}=1$

Answer 1

分析 由已知方程即可得出雙曲線的左頂點(diǎn)、一條漸近線方程與拋物線的焦點(diǎn)、準(zhǔn)線的方程，再根據(jù)數(shù)量關(guān)系即可列出方程，解出即可．

解答 解：∵雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的左頂點(diǎn)（-a，0）與拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F（$\frac{P}{2}$，0）的距離為4，∴$\frac{P}{2}$+a=4；
又雙曲線的一條漸近線與拋物線的準(zhǔn)線的交點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，-1），∴漸近線的方程應(yīng)是y=$\frac{b}{a}$x，而拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-$\frac{p}{2}$，因此-1=$\frac{b}{a}$×（-2），-2=-$\frac{p}{2}$，
聯(lián)立得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{p}{2}+a=4}\\{a=2b}\\{p=4}\end{array}\right.$，解得a=2，b=1，p=4．
故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{x^2}{4}-{y^2}=1$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線以及雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，熟練掌握?qǐng)A錐曲線的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．