Question

19．已知$\overrightarrow{a}$=（5$\sqrt{3}$cosx，cosx），$\overrightarrow{b}$=（sinx，2cosx），記函數f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+|$\overrightarrow{b}$|²．
（1）求函數f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）單調遞增區間．

Answer 1

分析 （1）利用向量的數量積公式得到函數解析式，并化簡，得到函數周期；
（2）解不等式$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}$得到x范圍即為所求．

解答 解：（1）f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+|$\overrightarrow{b}$|²，
$\begin{array}{l}f（x）=5\sqrt{3}cosxsinx+{sin^2}x+6{cos^2}x=\frac{{5\sqrt{3}}}{2}sin2x+\frac{1-cos2x}{2}+3（1+cos2x）\\=\frac{{5\sqrt{3}sin2x+5cos2x+7}}{2}=5sin（2x+\frac{π}{6}）+\frac{7}{2}\end{array}$
∴$T=\frac{2π}{2}=π$．
（2）解：不等式$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}$得
∴$kπ-\frac{π}{3}≤x≤kπ+\frac{π}{6}$，f（x）單調遞增區間為$[{kπ-\frac{π}{3}，kπ+\frac{π}{6}}]\;（k∈Z）$．

點評 本題考查了平面向量的運算以及三角函數式的化簡和正弦函數的性質運用；屬于中檔題．