Question

11．已知等差數列{a_n}的前n項和為S_n，公差d≠0，且S₃+S₅=50，a₁，a₄，a₁₃成等比數列．數列$\{\frac{b_n}{a_n}\}$是首項為1公比為2的等比數列，
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）求數列{b_n}前n項和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據題意、等差數列的通項公式、前n項和公式，列出方程組求出a₁、d的值，代入公式求出a_n；
（Ⅱ）根據題意和等比數列的通項公式求出$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$，將a_n代入求出b_n，利用錯位相減法和等比數列的前n項和公式求出數列{b_n}前n項和T_n．

解答 解：（Ⅰ）∵S₃+S₅=50，a₁，a₄，a₁₃成等比數列，
∴$\left\{\begin{array}{l}3{a_1}+\frac{3×2}{2}d+5{a_1}+\frac{5×4}{2}d=50\\{（{a_1}+3d）^2}={a_1}（{a_1}+12d）\end{array}\right.$…（2分）
解得$\left\{\begin{array}{l}{a_1}=3\\ d=2\end{array}\right.$…（4分），
∴a_n=a₁+（n-1）d=3+2（n-1）=2n+1，
即a_n=2n+1…（6分）
（Ⅱ）∵數列$\{\frac{b_n}{a_n}\}$是首項為1公比為2的等比數列，
∴$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$=1•2^n-1=2^n-1，
由（Ⅰ）得，b_n=a_n•2^n-1=（2n+1）•2^n-1，…（7分）
∴${T_n}=3×{2^0}+5×{2^1}+7×{2^2}+…+（2n+1）•{2^{n-1}}$，①$2{T_n}=3×{2^1}+5×{2^2}+7×{2^3}+…+（2n-1）•{2^{n-1}}+（2n+1）•{2^n}$，②…（9分）
兩式相減得：-T_n=3+2（2¹+2²+…+2^n-1）-（2n+1）•2ⁿ
=3+2×$\frac{2（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$-（2n+1）•2ⁿ
=-1+（1-2n）2ⁿ，
∴T_n=1+（2n-1）2ⁿ…（12分）

點評 本題考查了等差數列和等比數列的通項公式、前n項和公式，以及錯位相減法求數列的前n項和，考查方程思想，化簡、變形能力．