Question

2．在四棱錐F-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，AB=4，AD=8，∠BAD=60°，FA⊥平面ABCD且FA=12，點E在FA上，FC∥平面BED，
（1）求$\frac{FE}{AE}$的值；
（2）求A到平面BED的距離．

Answer 1

分析 （1）推導出四邊形ABCD是平行四邊形，從而得到E是FA的中點，由此能求出$\frac{FE}{AE}=1$．
（2）推導出BD⊥BE，由V_A-BED=V_E-ABD，能求出A到平面BED的距離．

解答 解：（1）∵FC∥平面BED，平面FCA∩平面BED=EO（AC與BD交于點O），
∴FC∥EO，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴O是AC的中點，
∴E是FA的中點，
∴$\frac{FE}{AE}=1$．…（6分）
（2）∵AB=4，AD=8，∠BAD=60°，∴由余弦定理有$BD=4\sqrt{3}$，…（8分）
且BD⊥AB，又∵BD⊥FA，FA∩AB=A，
∴BD⊥平面FAB，∴BD⊥BE，
記A到平面BED的距離為h，
∴${S_{△ABD}}=\frac{1}{2}×4×8×sin{60°}=8\sqrt{3}，AE=\frac{1}{2}AF=6，BE=\sqrt{A{E^2}+A{B^2}}=2\sqrt{13}$，
由V_A-BED=V_E-ABD得$\frac{1}{3}{S_{△BED}}•h=\frac{1}{3}{S_{△ABD}}•AE$，
即$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×4\sqrt{3}×2\sqrt{13}×h=\frac{1}{3}×8\sqrt{13}×6$，
解得$h=\frac{{12\sqrt{13}}}{13}$，
∴A到平面BED的距離為$\frac{12\sqrt{13}}{13}$．…（12分）

點評 本題考查兩線段比值的求法，考查點到平南的距離的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．