Question

8．已知數列{a_n}是公差d不為零的等差數列，{b_n}是等比數列，函數f（x）=b₁x²+b₂x+b₃的圖象在y軸上的截距為-4，其最大值為a₆-$\frac{7}{2}$．
（1）求a₆的值；
（2）若f（a₂+a₈）=f（a₃+a₁₁），求數列{b_n}的通項公式；
（3）若a₂=-$\frac{7}{2}$，設T_n為數列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n項和，求T_n．

Answer 1

分析 （1）根據題意f（x）圖象的截距求出b₃，由二次函數的最值和條件列出方程，利用等比中項的性質化簡后，列出方程求出a₆；
（2）由等差數列的性質、二次函數的性質化簡條件，求出等比數列{b_n}的公比，由等比數列的通項公式求出 數列{b_n}的通項公式；
（3）由（1）和條件求出公差，由等差數列的通項公式求出a_n，代入 $\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$化簡后，利用裂項相消法求出數列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n項和．

解答 解：（1）∵函數f（x）=b₁x²+b₂x+b₃的圖象在y軸上的截距為-4，
∴b₃=-4，
∵f（x）的最大值為a₆-$\frac{7}{2}$，
∴當x=$-\frac{{b}_{2}}{2{b}_{1}}$時，f（x）取得最大值是a₆-$\frac{7}{2}$，
即$\frac{4{b}_{1}{b}_{3}-{{b}_{2}}^{2}}{4{b}_{1}}$=b₃-$\frac{{{b}_{2}}^{2}}{4{b}_{1}}$=a₆-$\frac{7}{2}$，
∵{b_n}是等比數列，∴${{b}_{2}}^{2}={b}_{1}{b}_{3}$，
代入上式得，-4+1=a₆-$\frac{7}{2}$，解得a₆=$\frac{1}{2}$；
（I2）∵數列{a_n}是公差d不為零的等差數列，
∴a₂+a₈=2a₅，且a₃+a₁₁=2a₇，
則 f（a₂+a₈）=f（a₃+a₁₁）為f（2a₅）=f（2a₇），
由（1）可得，$\frac{1}{2}$（2a₅+2a₇）=$-\frac{{b}_{2}}{2{b}_{1}}$，
∴a₅+a₇=$-\frac{{b}_{2}}{2{b}_{1}}$，即$-\frac{{b}_{2}}{2{b}_{1}}$=2a₆=1，得$\frac{{b}_{2}}{{b}_{1}}$=-2
則數列{b_n}的公比q=$\frac{{b}_{2}}{{b}_{1}}$=-2，
∴b_n=b₃•q^n-3=-4×（-2）^n-3=-（-2）^n-1；
（3）由a₂=-$\frac{7}{2}$，a₆=$\frac{1}{2}$得，公差d=$\frac{{a}_{6}-{a}_{2}}{4}$=1，
∴a_n=a₂+（n-2）d=-$\frac{7}{2}$+n-2=n-$\frac{11}{2}$=$\frac{2n-11}{2}$，
則$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{4}{（2n-11）（2n-9）}$=2（$\frac{1}{2n-11}-\frac{1}{2n-9}$），
∴數列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n項和：
T_n=2[（$\frac{1}{-9}-\frac{1}{-7}$）+（$\frac{1}{-7}-\frac{1}{-5}$）+…+（$\frac{1}{2n-11}-\frac{1}{2n-9}$）]
=2（-$\frac{1}{9}$-$\frac{1}{2n-9}$ ）=$\frac{-4n}{9（2n-9）}$．

點評 本題考查了等差數列的性質、通項公式，等比數列的通項公式，二次函數的圖象與性質，以及裂項相消法求數列的前n項和，考查方程思想，化簡、變形能力．