Question

17．設命題p：$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-2≥0}\\{x+3y-6≤0}\\{x-k≤0}\end{array}\right.$（x，y，k∈R，且k＞0）；命題q：（x-1）²+y²≤5（x，y∈R）．若p是q的充分不必要條件為真命題，則k的取值范圍是（0，2]．

Answer 1

分析 作出不等式組$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-2≥0}\\{x+3y-6≤0}\\{x-k≤0}\end{array}\right.$表示的平面區域，因為p是q的充分不必要條件，所以命題p不等式組表示的平面區域內的點都在命題q表示的圓及其內部，進而可得答案．

解答 解：：作出不等式組$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-2≥0}\\{x+3y-6≤0}\\{x-k≤0}\end{array}\right.$表示的平面區域，如下圖，

因為p是q的充分不必要條件，所以命題p不等式組表示的平面區域內的點都在命題q表示的圓及其內部，
因為C（0，2）恰好在（x-1）²+y²=5上，所以只需要A，B兩點在圓（x-1）²+y²=5上或者其內部即可，
因此有$\left\{\begin{array}{l}（k-1）^{2}+（2-2{k）}^{2}≤5\\（k-1）^{2}+（2-{\frac{k}{3}）}^{2}≤5\end{array}\right.$，
解不等式組可得k∈（0，2]．
故答案為：（0，2]

點評 本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查了線性規劃，點與圓的位置關系，充要條件等知識點，難度中檔．