Question

18．已知數列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=1，S_2n=2a_n²+a_n．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若b_n=2^a_n，求b₁+b₃+b₅+…+b_2n+1．

Answer 1

分析 （1）利用遞推關系、猜想此數列為等差數列，驗證成立即可．
（2）利用等比數列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）${S_{2n}}=2{a_n}^2+{a_n}$，則${S_2}={a_1}+{a_2}=2a_1^2+{a_1}$，又a₁=1，得a₂=2，
猜想數列{a_n}為等差數列，公差d=a₂-a₁=1，可得數列{a_n}的通項公式為a_n=n．
驗證：左邊=S_2n=$\frac{2n（1+2n）}{2}$=2n²+n=右邊．
∴猜想a_n=n正確．
（2）${b_n}={2^{a_n}}={2^n}$，
∴數列{b_2n+1}是首項為2，公比為4的等比數列，
∴${b_1}+{b_3}+{b_5}+…+{b_{2n+1}}=\frac{2}{3}（{{4^{n+1}}-1}）$．

點評 本題考查了數列遞推關系、等差數列與等比數列的通項公式與求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．