Question

10．對區間I上有定義的函數f（x），記f（I）={y|y=f（x），x∈I}，已知函數y=f（x）的定義域為[0，3]，自變量x與因變量y一一對應，且f（[1，2]）=[0，1），f（[0，1]）=[2，4），若方程f（x）-x=0有解x₀，則x₀=（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 根據互為反函數的兩函數定義域、值域互換可判斷：當x∈[0，1）時，x∈[1，2）時f（x）的值域，進而可判斷此時f（x）=x無解；由f（x）在定義域[0，3]上存在反函數可知：x∈[2，3]時，f（x）的取值集合，再根據方程f（x）=x有解即可得到x₀的值．

解答 解：因為g（I）={y|y=g（x），x∈I}，f^-1（[0，1））=[1，2），f^-1（2，4]）=[0，1），
所以對于函數f（x），
當x∈[0，1）時，f（x）∈（2，4]，所以方程f（x）-x=0即f（x）=x無解；
當x∈[1，2）時，f（x）∈[0，1），所以方程f（x）-x=0即f（x）=x無解；
所以當x∈[0，2）時方程f（x）-x=0即f（x）=x無解，
又因為方程f（x）-x=0有解x₀，且定義域為[0，3]，
故當x∈[2，3]時，f（x）的取值應屬于集合（-∞，0）∪[1，2]∪（4，+∞），
故若f（x₀）=x₀，只有x₀=2，
故選B．

點評 本題考查函數的零點及反函數，考查學生分析解決問題的能力，屬中檔題．