Question

17．已知球的直徑SC=4，A，B是該球球面上的兩點，∠ASC=∠BSC=30°，且AB=$\sqrt{3}$，則三棱錐S-ABC的體積為（　　）

• A． 1
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2$\sqrt{3}$
• D． 3$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 設球心為O，作AB中點D，連結OD、CD，由棱錐S-ABC的體積V=$\frac{1}{3}×AB×{S}_{△SCD}$，利用余弦定理、三角形面積公式，能求出三棱錐S-ABC的體積．

解答 解：設球心為O，作AB中點D，連結OD、CD，
∵線段SC是球的直徑，∴SC是大圓的直徑，
∴∠SAC=∠SBC=90°，
∴在Rt△SAC中，SC=4，∠ASC=30°，∴AC=2，SA=2$\sqrt{3}$，
又在Rt△SBC中，SC=4，∠ASC=30°，∴BC=2，SB=2$\sqrt{3}$，
∴SA=SB，AC=BC，
∵點D是AB的中點，∴在等腰△ASB中，SD⊥AB，且SD=$\sqrt{S{A}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{12-\frac{3}{4}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$，
在等腰△CAB中，CD⊥AB，且CD=$\sqrt{A{C}^{2}-A{D}^{2}}=\sqrt{4-\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{13}}{2}$，
又SD∩CD=D，∴AB⊥平面SCD，即棱錐S-ABC的體積V=$\frac{1}{3}×AB×{S}_{△SCD}$，
∵SD=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$，CD=$\frac{\sqrt{13}}{2}$，
∴由余弦定理得cos∠SDC=$\frac{S{D}^{2}+C{D}^{2}-S{C}^{2}}{2×SD×CD}$=$\frac{\frac{45}{4}+\frac{13}{4}-16}{2×\frac{3\sqrt{5}}{2}×\frac{\sqrt{13}}{2}}$=-$\frac{1}{\sqrt{65}}$，
∴sin$∠SDC=\sqrt{1-（-\frac{1}{65}}）^{2}$=$\frac{8}{\sqrt{65}}$，
∴由三角形面積公式得△SCD的面積：
S=$\frac{1}{2}×SD×CD×sin∠SDC$=$\frac{1}{2}×\frac{3\sqrt{5}}{2}×\frac{\sqrt{13}}{2}×\frac{8}{\sqrt{65}}$=3，
∴三棱錐S-ABC的體積為：
V=$\frac{1}{3}×AB×{S}_{△SCD}$=$\frac{1}{3}×AB×{S}_{△SCD}$=$\frac{1}{3}×\sqrt{3}×3$=$\sqrt{3}$．

點評 本題考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意余弦定理、三角形面積公式、球的性質的合理運用．