Question

8．如圖，在四棱錐P-ABCD中，已知底面ABCD是矩形，AB=2，AD=a，PD⊥平面ABCD，若邊AB上有且只有一點M，使得PM⊥CM，則實數a=1．

Answer 1

分析 以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出實數a的取值．

解答 解：以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DP為z軸，
建立空間直角坐標系，
設AM=m，DP=t，
則P（0，0，t），M（a，m，0），C（0，2，0），
∴$\overrightarrow{PM}$=（a，m，-t），$\overrightarrow{CM}$=（a，m-2，0），
∵PM⊥CM，
∴$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{CM}$=a²+m²-2m=0，
∴a²=-m²+2m=-（m-1）²+1≤1，
∴m=1，a=1邊AB上有且只有一點M，使得PM⊥CM，
故答案為：1．

點評 本題考查實數的取值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．