Question

7．在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為平行四邊形，∠ACB=90°，EA⊥平面ABCD，EF∥AB，FG∥BC，EG∥AC，AB=2EF．
（1）在線段AD上是否存在點M，使GM∥平面ACF？并說明理由；
（2）若AC=BC=2AE，求二面角E-DG-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由已知可得：∠EGF=90°，△ABC∽△EFG．連接AF，FG∥BC，FG=$\frac{1}{2}$BC．在平行四邊形ABCD中，M是線段AD的中點，可得四邊形AFGM為平行四邊形，可得GM∥FA，即可證明GM∥平面ACF．
（2）由已知可得AC，AD，AE兩兩垂直．分別以AC，AD，AE所在直線為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系A-xyz．不妨取AC=2．設平面DEG的法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DG}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DE}=0}\end{array}\right.$，可得$\overrightarrow{m}$．設平面CDG的法向量$\overrightarrow{n}$=（x₁，y₁，z₁），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DG}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DC}=0}\end{array}\right.$，可得$\overrightarrow{n}$．利用$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$即可得出．

解答 （1）證明：∵EF∥AB，FG∥BC，EG∥AC，∠ACB=90°，
∴∠EGF=90°，△ABC∽△EFG．
∵AB=2EF，∴BC=2FG，
連接AF，FG∥BC，FG=$\frac{1}{2}$BC．
在平行四邊形ABCD中，M是線段AD的中點，
∴AM∥BC，且AM=$\frac{1}{2}$BC，
∴FG∥AM，且FG=AM，
∴四邊形AFGM為平行四邊形，∴GM∥FA，
又FA?平面ACF，GM?平面ACF，
∴GM∥平面ACF．
（2）解：∵∠ACB=90°，∴∠ACD=90°，
又EA⊥平面ABCD，∴AC，AD，AE兩兩垂直．
分別以AC，AD，AE所在直線為x軸、y軸、z軸，
建立如圖所示的空間直角坐標系A-xyz．不妨取AC=2．
則由題意知A（0，0，0），B（2，-2，0），E（0，0，1），
C（2，0，0），D（0，1，0）．G（1，0，1）．
∴$\overrightarrow{DG}$=（1，-1，1），$\overrightarrow{DC}$=（2，-1，0），
$\overrightarrow{DE}$=（0，-1，1）．
設平面DEG的法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DG}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DE}=0}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{x-y+z=0}\\{-y+z=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{m}$=（0，1，1）．
設平面CDG的法向量$\overrightarrow{n}$=（x₁，y₁，z₁），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DG}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DC}=0}\end{array}\right.$，可得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}-{y}_{1}+{z}_{1}=0}\\{2{x}_{1}-{y}_{1}=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{n}$=（1，2，1）．
∴$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{3}{\sqrt{2}×\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
由圖形可得：二面角E-DG-C的平面角是鈍角，因此余弦值為-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題考查了空間位置關系、線面面面平行垂直的判定與性質定理、空間角、直角三角形的邊角關系、三角形中位線定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．