Question

12．定義在（0，+∞）上的單調遞減函數f（x），若f（x）的導函數存在且滿足$\frac{f（x）}{f'（x）}＞-x$，則下列不等式成立的是（　�。�

• A． 3f（2）＜2f（3）
• B． 3f（4）＜4f（3）
• C． $\frac{f（3）}{4}＞\frac{f（4）}{3}$
• D． f（2）＜2f（1）

Answer 1

分析 由題意構造g（x）=xf（x），求出g′（x），化簡已知的式子后，結合題意判斷出g′（x）的符號，可得g（x）在（0，+∞）上的單調性，由函數的單調性可得答案

解答 解：設g（x）=xf（x），則g′（x）=f（x）+xf′（x），
因為定義在（0，+∞）上的單調遞減函數f（x），
所以x∈（0，+∞）時，f′（x）＜0，
由$\frac{f（x）}{f'（x）}＞-x$，得 $\frac{f（x）}{f′（x）}$+x＞0，則 $\frac{xf′（x）+f（x）}{f′（x）}$＞0，
則當∈（0，+∞）時，f（x）+xf′（x）＜0，即g′（x）＜0，
所以函數g（x）在（0，+∞）上遞減，
則g（3）＞g（4），即$\frac{f（3）}{4}$＞$\frac{f（4）}{3}$，
故選：C．

點評 本題考查函數的單調性與導數的關系，以及構造函數法，屬于中檔題．