Question

1．設函數f（x）=|x+1|+|x-2|．
（1）若函數$g（x）=\sqrt{|{x+1}|+|{x-2}|-a}$的定義域為R，試求a的取值范圍；
（2）若f（x）=$\frac{{2{a^2}+4}}{{\sqrt{{a^2}+1}}}$成立，求x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當x∈R時，恒有|x+1|+|x-2|-a≥0，即|x+1|+|x-2|≥a，又|x+1|+|x-2|≥3，即可求a的取值范圍；
（2）若f（x）=$\frac{{2{a^2}+4}}{{\sqrt{{a^2}+1}}}$成立，需且只需|x+1|+|x-2|≥4，分類討論，即可求x的取值范圍．

解答 解：（1）由題設知，當x∈R時，恒有|x+1|+|x-2|-a≥0，
即|x+1|+|x-2|≥a，又|x+1|+|x-2|≥3，
∴a≤3．
（2）∵$\frac{{a}^{2}+2}{\sqrt{{a}^{2}+1}}$=$\sqrt{{a}^{2}+1}$+$\frac{1}{\sqrt{{a}^{2}+1}}$≥2，
∴要使f（x）=$\frac{{2{a^2}+4}}{{\sqrt{{a^2}+1}}}$=2$\frac{{a}^{2}+2}{\sqrt{{a}^{2}+1}}$成立，需且只需|x+1|+|x-2|≥4，
即$\left\{\begin{array}{l}x≤-1\\ 1-2x≥4\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}-1＜x＜2\\ 3≥4\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x≥2\\ 2x-1≥4\end{array}\right.$
解得$x≤-\frac{3}{2}$，或x≥$\frac{5}{2}$．
故x的取值范圍是$（-∞，-\frac{3}{2}]∪[\frac{5}{2}，+∞）$

點評 本題考查絕對值不等式的解法，考查分類討論的數學思想，考查學生的計算能力，屬于中檔題．