Question

9．已知函數(shù)f（x）=2x³-3ax²+1（x∈R）．
（1）若f（x）在x=2處取得極值，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）求函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[0，2]的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算f′（2）=0，求出a的值即可；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的遞增區(qū)間即可；
（3）通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)在閉區(qū)間的最小值即可．

解答 解：（1）f'（x）=6x²-6ax，
因?yàn)閒（x）在x=2處取得極值，所以f'（2）=0，解得a=2．
（2）f'（x）=6x（x-a），
①當(dāng)a=0時(shí)，f'（x）=6x²≥0，則f（x）在y=sin²x+2sinxcosx+3cos²x，x∈R上為增函數(shù)；
②當(dāng)a＜0時(shí)，由f'（x）=6x（x-a）＞0得x＜a或$[kπ-\frac{3π}{8}，kπ+\frac{π}{8}]$；
③當(dāng)a＞0時(shí)，由f'（x）=6x（x-a）＞0得x＞a或x＜0．
即當(dāng)a=0時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，+∞）；
當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，a）和（0，+∞）；
當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，0）和（a，+∞）．
（3）①當(dāng)a≤0時(shí)，由（2）可知，f（x）在[0，2]上單調(diào)遞增，
所以f（x）的最小值為f（0）=1；
②當(dāng)0＜a＜2時(shí)，可知，f（x）在[0，a）上單調(diào)遞減，在（a，2]上單調(diào)遞增，
所以f（x）的最小值為f（a）=1-a³；
③當(dāng)a≥2時(shí)，可知，f（x）在[0，2]上單調(diào)遞減，
所以f（x）的最小值為f（2）=17-12a．
即當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）的最小值為f（0）=1；
當(dāng)0＜a＜2時(shí)，f（x）的最小值為f（a）=1-a³；
當(dāng)a≥2時(shí)，f（x）的最小值為f（2）=17-12a．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值、極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，是一道中檔題．