Question

4．已知函數f（x）=xlnx．
（Ⅰ）求曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）求函數g（x）=f（x）+x²-3x的單調區間及極值；
（Ⅲ）對?x≥1，f（x）≤m（x²-1）成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求導函數，然后求解切線的斜率，求切點坐標，進而可求切線方程．
（Ⅱ）先求導函數，再根據導數和函數單調性關系即可求出單調區間和極值．

解答 解：（Ⅰ）求導函數，可得f′（x）=1+lnx，
∴f′（1）=1，f（1）=0，
∴曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線方程y-0=1×（x-1）
即y=x-1．
（Ⅱ）函數g（x）=f（x）+x²-3x=xlnx+x²-3x，
∴g′（x）=1+lnx+2x-3=lnx+2x-2，
令g（x）=0，解得x=1，
當g′（x）＞0時，解得x＞1，函數f（x）單調遞增，
由g′（x）＜0，解得0＜x＜1，函數f（x）單調遞減，
故函數f（x）在（1，+∞）上單調遞增，在（0，1）上單調遞減，
當x=1時，函數有極小值，極小值為g（1）=-2，無極大值
（Ⅲ）∵?x≥1，f（x）≤m（x²-1）成立，
∴m≥$\frac{xlnx}{{x}^{2}-1}$，
令h（x）=$\frac{xlnx}{{x}^{2}-1}$，
$\underset{lim}{x→1}$$\frac{xlnx}{{x}^{2}-1}$=$\underset{lim}{x→1}$$\frac{1+lnx}{2x-1}$=$\frac{1}{2}$

點評 本題考查導數的運用：求單調區間，注意運用構造函數的方法判斷單調性，考查運算能力，屬于中檔題．