Question

17．觀察下列等式：
a²-b²=（a-b）（a+b）
a³-b³=（a-b）（a²+ab+b²）
a⁴-b⁴=（a-b）（a³+a²b+ab²+b³），…，
照此規律，aⁿ-bⁿ=（a-b）（a^n-1+a^n-2b+…+ab^n-2+b^n-1）（n≥2，n∈N）

Answer 1

分析 根據所給信息，可知各個等式的左邊兩因式中，一項為（a-b），另一項每一項的次數均為n-1，而且按照字母a的降冪排列，故可得答案．

解答 解：由題意，當n=1時，有（a-b）（a+b）=a²-b²；
當n=2時，有（a-b）（a²+ab+b²）=a³-b³；
當n=3時，有（a-b）（a³+a²b+ab²+b³）=a⁴-b⁴；
當n=4時，有（a-b）（a⁴+a³b+a²b²+ab³+b⁴）=a⁵-b⁵；
所以得到猜想：當n∈N^*時，有（a-b）（a^n-1+a^n-2b+…+ab^n-2+b^n-1）=aⁿ-bⁿ；
故答案為（a-b）（a^n-1+a^n-2b+…+ab^n-2+b^n-1）．

點評 本題的考點是歸納推理，主要考查信息的處理，關鍵是根據所給信息，可知兩因式中，一項為（a-b），另一項每一項的次數均為n-1，而且按照字母a的降冪排列．