Question

5．某大學為了在2016年全國大學生成語聽寫大賽取得優秀成績，抽調男女各20名學生組成集訓隊進行成語聽寫集訓，集訓結束時，為了檢驗集訓效果，對所有集訓隊員進行成語聽寫考核，試題為聽寫100個常用成語（每個1分，滿分100分），考核成績如圖莖葉圖所示：
（I）若大于或等于80分為優秀隊員，80分以下為非優秀隊員，根據莖葉圖填寫下面2×2列聯表，并判斷能否有95%的把握認為隊員的優秀與性別有關？

	非優秀	優秀	總數
男			20
女			20
總數			40

（Ⅱ）若從考核成績95分以上（包括95分）的隊員中任選兩人代表這所大學參加全國大學生成語聽寫大賽，求至少有一名男隊員參加的概率．
下面的臨界值表供參考：

P（K2≥k0）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k0	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

（參考公式：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d）

Answer 1

分析 （I）根據所給數據，可得2×2列聯表；求出K²，與臨界值比較，即可得到結論；
（Ⅱ）考評成績95分以上（包括95分）的男學員有2人，女學員有4人，任選兩人，有${C}_{6}^{2}$=15種結果，全是女學員，有${C}_{4}^{2}$=6種結果，即可求得至少含1 名男學員的概率．

解答 解：（I）列聯表如下：

	非優秀	優秀	總數
男	13	7	20
女	6	14	20
總數	19	21	40

（2分）
${k^2}=\frac{{40{{（{15×12-8×5}）}^2}}}{23×17×20×20}=5.0256＞5.024$
根據列聯表中的數據計算得${k^2}=\frac{{40{{（{13×14-6×7}）}^2}}}{19×21×20×20}=4.912$＞3.841． （5分）
故我們有95%的把握認為學生生物成績的優秀與性別有關． （6分）
（Ⅱ）考評成績95分以上（包括95分）的男學員有2人，女學員有4人，任選兩人，有${C}_{6}^{2}$=15種結果，全是女學員，有${C}_{4}^{2}$=6種結果，至少有一名男學員參加的概率為$\frac{6}{15}$=$\frac{3}{5}$．（12分）

點評 本題考查線性回歸方程的求法和應用，考查概率的計算，本題解題的關鍵是利用最小二乘法求出線性回歸方程的系數，古典概型計算公式，屬于中檔題．