Question

7．棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別為棱BC、DD₁的中點．
（1）若平面AFB₁與平面BCC₁B₁的交線為l，l與底面AC的交點為點G，試求AG的長；
（2）求二面角A-FB₁-E的余弦值．

Answer 1

分析 （1）過B₁作FA的平行線交面ABCD于G，連接AG，在Rt△ABG中求得AG的長；
（2）分別以DA、DC、DD₁所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系，求出平面B₁EF的一個法向量為$\overrightarrow{n}$=（-4，3，2），平面AFB₁的一個法向量為$\overrightarrow{m}$=（-1，2，-2），二面角A-FB₁-E的平面角為θ，則cosθ=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}}{丨\overrightarrow{n}丨•丨\overrightarrow{m}丨}$=$\frac{4+6-4}{\sqrt{29}×\sqrt{9}}$=$\frac{2\sqrt{29}}{29}$．

解答 解：（1）如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，E、F分別為棱BC、DD₁的中點，
延長CB到G，使BG=2BC，連接B₁G，
則B₁G所在直線為平面AFB₁與平面BCC₁B₁的交線，
連接AG，在Rt△ABG中，AB=1，BG=2，
則AG²=AB²+BG²=5，
∴AG=$\sqrt{5}$；…5分

（2）以D為原點，DA、DC、DD₁分別為x、y、x軸建立空間直角坐標系，如圖所示，

由圖可知，則A（1，0，0），B₁（1，1，1），E（$\frac{1}{2}$，1，0），F（0，0，$\frac{1}{2}$），
∴$\overrightarrow{{B}_{1}E}$=（-$\frac{1}{2}$，0，-1），$\overrightarrow{{B}_{1}E}$=（-$\frac{1}{2}$，0，-1），
設平面B₁EF的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}⊥\overrightarrow{{B}_{1}E}}\\{\overrightarrow{n}⊥\overrightarrow{{B}_{1}F}}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}x-z=0}\\{-x-y-\frac{1}{2}z=0}\end{array}\right.$，令z=2，則x=-4，y=3，
∴平面B₁EF的一個法向量為$\overrightarrow{n}$=（-4，3，2），
同理可得，平面AFB₁的一個法向量為$\overrightarrow{m}$=（-1，2，-2），
記二面角A-FB₁-E的平面角為θ，則cosθ=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}}{丨\overrightarrow{n}丨•丨\overrightarrow{m}丨}$=$\frac{4+6-4}{\sqrt{29}×\sqrt{9}}$=$\frac{2\sqrt{29}}{29}$，
∴二面角A-FB₁-E的余弦值是$\frac{2\sqrt{29}}{29}$．

點評 本題考查空間中的點、線、面間的距離，考查空間向量的數量積，空間向量的坐標表示，空間向量的運算，考查學生的空間想象能力和思維能力，訓練了利用向量法求二面角的平面角的余弦值方法的應用，屬于中檔題．