Question

5．已知：函數f（x）=2cos²x+$\sqrt{3}$sin2x+a（a∈R，a為常數）
（1）若x∈R，求f（x）的最小正周期、單調遞增區間；
（2）若x∈R，求f（x）的對稱軸方程和對稱中心坐標；
（3）若f（x）在[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]上最大值與最小值之和為3，求a的值．

Answer 1

分析 （1）先利用輔助角和二倍角的基本公式將函數化為y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函數的最小正周期，最后將內層函數看作整體，放到正弦函數的增區間上，解不等式得函數的單調遞增區間；
（2）結合三角函數的圖象和性質直接求解即可．
（3）x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]上時，求出內層函數的取值范圍，結合三角函數的圖象和性質，求出f（x）的取值最大和最小值，即得到a的取值

解答 解：函數f（x）=2cos²x+$\sqrt{3}$sin2x+a=1+cos2x+$\sqrt{3}$sin2x+a，（a∈R，a為常數）
化簡可得：$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{6}）+a+1$．
（1）最小正周期$T=\frac{2π}{2}=π$．
令2k$π-\frac{π}{2}$≤$2x+\frac{π}{6}$≤$2kπ+\frac{π}{2}$，k∈Z
解得：$kπ-\frac{π}{3}$$≤x≤kπ+\frac{π}{6}$
∴單調遞增區間$[kπ-\frac{π}{3}，kπ+\frac{π}{6}]$，k∈Z．
（2）由對稱軸方程：2x$+\frac{π}{6}$=kπ$+\frac{π}{2}$
解得：$x=\frac{kπ}{2}+\frac{π}{6}$，k∈Z
∴對稱軸方程$x=\frac{kπ}{2}+\frac{π}{6}$，k∈Z
由對稱中心的橫坐標：2x$+\frac{π}{6}$=kπ，
解得：x=$\frac{kπ}{2}-\frac{π}{6}$
∴對稱中心坐標（$\frac{kπ}{2}-\frac{π}{6}$，a+1）k∈Z．
（3）∵$x∈[-\frac{π}{6}，\frac{π}{4}]$
∴⇒$2x∈[-\frac{π}{3}，\frac{π}{2}]$
∴⇒$2x+\frac{π}{6}∈[-\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}]$
故得$-\frac{1}{2}≤sin（2x+\frac{π}{6}）≤1$
即f（x）_min=a，f（x）_max=a+3，
∴a+a+3=3，
解得：a=0．
故得f（x）在[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]上最大值與最小值之和為3時，a的值為0．

點評 本題主要考查對三角函數的化簡能力和三角函數的圖象和性質的運用，利用三角函數公式將函數進行化簡是解決本題的關鍵．屬于中檔題．