Question

7．設(shè)定義在R上的函數(shù)f（x）對(duì)于任意x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，且f（1）=-2，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＜0．
（1）判斷f（x）的奇偶性，并加以證明；
（2）解關(guān)于x的不等式f（x+#）+f（2x-x²）＞2．

Answer 1

分析 （1）令x+y=0，可得f（0）=0，令y=-x，則f（x）+f（-x）=f（0）=0，∴f（-x）=-f（x）；（2）由題設(shè)條件對(duì)任意x₁、x₂在所給區(qū)間內(nèi)比較f（x₂）-f（x₁）與0的大小即可判定單調(diào)性，將不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為∴f（x+3）＜f（-2x+x²-1）再利用函數(shù)的單調(diào)性即可解得不等式的解集．

解答 解：（1）令x+y=0，可得f（0）=0，
令y=-x，則f（x）+f（-x）=f（0）=0，∴f（-x）=-f（x），
且f（x）的定義域?yàn)镽，是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴f（x）為奇函數(shù)，
（2）設(shè)x₂＞x₁，令-y=x₁，x=x₂ 則f（x₂-x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂）-f（x₁），
因?yàn)閤＞0時(shí)，f（x）＜0，又x₂-x₁＞0，
故f（x₂-x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂）-f（x₁）＜0，
∴f（x₂）＜f（x₁）∴f（x）在R上單調(diào)遞減，
因?yàn)閒（-1）=2∴原不等式可轉(zhuǎn)化為f（x+3）+f（2x-x²）＜-f（1）∴f（x+3）＜-f（2x-x²）-f（1），
∴f（x+3）＜-f（2x-x²+1）=f（-2x+x²-1），
又因?yàn)閒（x）在R上單調(diào)遞減∴x+3＞-2x+x²-1，
∴x＞4或x＜-1，
不等式的解集為（-∞，-1）∪（4，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題查了是抽象函數(shù)的奇偶性的判定，以及靈活利用所給的恒等式證明函數(shù)的單調(diào)性，考查了利用單調(diào)性解不等式問題，屬于中檔題