Question

3．已知拋物線C：y²=4x，傾斜角為α的直線l過點F（1，0），且與拋物線C交于A，B兩點，A，B在直線x=-1上的射影分別為A₁，B₁，記m=$\overrightarrow{F{A}_{1}}$$•\overrightarrow{F{B}_{1}}$，則（　　）

• A． m＞0
• B． m＜0
• C． m=0
• D． m值與α有關

Answer 1

分析 由拋物線的定義及內錯角相等，可得∠AFA₁=∠A₁FK，同理可證∠BFB₁=∠B₁FK，再利用平角為180°，即∠AFA₁+∠A₁FK+∠BFB₁+∠B₁FK=180°，∠A₁FB₁=90°，m=$\overrightarrow{F{A}_{1}}$$•\overrightarrow{F{B}_{1}}$=丨$\overrightarrow{F{A}_{1}}$丨•丨$\overrightarrow{F{A}_{2}}$丨cos∠A₁FB₁=0．

解答 解：由題意可知：拋物線C：y²=4x，焦點坐標F（1，0），準線方程x=-1，
如圖：設準線與x軸的交點為K，
∵A、B在拋物線的準線上的射影為A₁、B₁，
由拋物線的定義可得，丨AA₁丨=丨AF丨，
∴∠AA₁F=∠AFA₁，
又由內錯角相等可知：∠AA₁F=∠A₁FK，
∴∠AFA₁=∠A₁FK．
同理可證∠BFB₁=∠B₁ FK．   
由∠AFA₁+∠A₁FK+∠BFB₁+∠B₁FK=180°，
∴∠A₁FK+∠B₁FK=∠A₁FB₁=90°，
∴∠A₁FB₁=90°，
∵m=$\overrightarrow{F{A}_{1}}$$•\overrightarrow{F{B}_{1}}$=丨$\overrightarrow{F{A}_{1}}$丨•丨$\overrightarrow{F{A}_{2}}$丨cos∠A₁FB₁=0，
故選C．

點評 本題考查拋物線的簡單性質，拋物線的定義，考查兩條直線平行，內錯角相等，考查向量的數量積，考查計算能力，屬于中檔題．