Question

12．已知平面向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$滿足|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=1，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\frac{1}{2}$，若向量$\overrightarrow{c}$滿足|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$|≤1，則|$\overrightarrow{c}$|的最大值為（　　）

• A． 1
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． 2

Answer 1

分析 通過向量的數(shù)量積的定義，設(shè)出向量的坐標(biāo)，利用向量的坐標(biāo)運算和向量的模的公式及幾何意義，結(jié)合圓的方程即可得出最大值為圓的直徑．

解答 解：由平面向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$滿足|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=1，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\frac{1}{2}$，
可得|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|•cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=1•1•cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=$\frac{1}{2}$，
由0≤＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞≤π，可得＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=$\frac{π}{3}$，
設(shè)$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow{b}$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{c}$=（x，y），
則|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$|≤1，即有|（$\frac{1}{2}$+x，y-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）|≤1，
即為（x+$\frac{1}{2}$）²+（y-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²≤1，
故|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$|≤1的幾何意義是在以（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）為圓心，半徑等于1的圓上
和圓內(nèi)部分，
|$\overrightarrow{c}$|的幾何意義是表示向量$\overrightarrow{c}$的終點與原點的距離，而原點在圓上，
則最大值為圓的直徑，即為2．
故選：D．

點評 本題主要考查兩個向量的數(shù)量積的運算，熟練掌握向量的坐標(biāo)運算和圓的方程及數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．