Question

3．已知點(diǎn)M到定點(diǎn)F（1，0）和定直線x=4的距離之比為$\frac{1}{2}$，設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為曲線C．
（1）求曲線C的方程；
（2）設(shè)P（4，0），過(guò)點(diǎn)F作斜率不為0的直線l與曲線C交于兩點(diǎn)A，B，設(shè)直線PA，PB的斜率分別是k₁，k₂，求k₁+k₂的值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)點(diǎn)M（x，y），利用條件可得等式$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$=$\frac{1}{2}$|x-4|，化簡(jiǎn)，可得曲線C的軌跡方程；
（2）設(shè)直線l的方程為：x=my+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x=my+1}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12}\end{array}\right.$得：（4+3m²）y²+6my-9=0.${k}_{1}+{k}_{2}=\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-4}+\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-4}$=$\frac{{y}_{1}（{x}_{2}-4）+{y}_{2}（{x}_{1}-4）}{（{x}_{1}-4）（{x}_{2}-4）}$=$\frac{2m{y}_{1}{y}_{2}-3（{y}_{1}+{y}_{2}）}{{m}^{2}{y}_{1}{y}_{2}-3m（{y}_{1}+{y}_{2}）+9}$

解答 解：（1）設(shè)點(diǎn)M（x，y），則據(jù)題意有$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$=$\frac{1}{2}$|x-4|
則4[（x-1）²+y²]=（x-4）²，即3x²+4y²=12，∴$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$
曲線C的方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（2）設(shè)直線l的方程為：x=my+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x=my+1}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12}\end{array}\right.$得：（4+3m²）y²+6my-9=0，${y}_{1}{y}_{2}=\frac{-9}{3{m}^{2}+4}，{y}_{1}+{y}_{2}=\frac{-6m}{3+4{m}^{2}}$．
${k}_{1}+{k}_{2}=\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-4}+\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-4}$=$\frac{{y}_{1}（{x}_{2}-4）+{y}_{2}（{x}_{1}-4）}{（{x}_{1}-4）（{x}_{2}-4）}$=$\frac{2m{y}_{1}{y}_{2}-3（{y}_{1}+{y}_{2}）}{{m}^{2}{y}_{1}{y}_{2}-3m（{y}_{1}+{y}_{2}）+9}$=0．
k₁+k₂的值為0

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與橢圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．