Question

1．若函數f（x）=ax²+2x+blnx在x=1和x=2處取得極值，
（1）求a，b的值；
（2）求f（x）在$[\frac{1}{2}，2]$上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，根據函數的極值得到關于a，b的方程組，解出即可；
（2）求出函數f（x）的導數，解關于導函數的方程，求出函數的單調區間，從而求出函數在閉區間的最值即可．

解答 解：（1）由題意$f'（x）=2ax+2+\frac{b}{x}$，…（2分）
由f（x）在x=1和x=2處取得極值得$\left\{\begin{array}{l}f'（1）=2a+2+b=0\\ f'（2）=4a+2+\frac{b}{2}=0\end{array}\right.$…（5分）
解得$\left\{\begin{array}{l}a=-\frac{1}{3}\\ b=-\frac{4}{3}\end{array}\right.$…（7分）
（2）由（1）知$f（x）=-\frac{1}{3}{x^2}+2x-\frac{4}{3}lnx$，故$f'（x）=-\frac{2}{3}x+2-\frac{4}{3x}=\frac{-2（x-1）（x-2）}{3x}$
由f'（x）=0得x=1或x=2
在$[\frac{1}{2}，2]$上當x變化時，f'（x），f（x）變化情況列表得

x	$（\frac{1}{2}，1）$	1	（1，2）
f'（x）	-	0	+
f（x）	單調遞減	極大值	單調遞增

所以，當x=1時，f（x）取得極大值$f（1）=-\frac{1}{3}+2-0=\frac{5}{3}$
又$f（\frac{1}{2}）=-\frac{1}{12}+1-\frac{4}{3}ln\frac{1}{2}=\frac{11}{12}+\frac{4}{3}ln2$，$f（2）=-\frac{4}{3}+4-\frac{4}{3}ln2=\frac{8}{3}-\frac{4}{3}ln2$
所以f（x）在$[\frac{1}{2}，2]$上的最大值為$f（1）=\frac{5}{3}$，最小值為$f（\frac{1}{2}）=\frac{11}{12}+\frac{4}{3}ln2$…（14分）

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查極值的意義，導數的應用，是一道中檔題．