Question

6．已知函數f（x）=$\frac{1}{2}$x²-（a+1）x+alnx+1．
（Ⅰ）若x=3是f（x）的極值點，求f（x）的單調區間；
（Ⅱ）f（x）≥1恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由于x=3是f（x）的極值點，則f′（3）=0求出a，進而求出f′（x）＞0得到函數的增區間，求出f′（x）＜0得到函數的減區間即可；
（Ⅱ）由于f（x）≥1恒成立，即x＞0時，$\frac{1}{2}$x²-（a+1）x+alnx≥0恒成立，設g（x）=$\frac{1}{2}$x²-（a+1）x+alnx，求出函數的導數，分類討論參數a，得到函數g（x）的最小值≥0，即可得到a的范圍．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=x-（a+1）+$\frac{a}{x}$，
∵x=3是f（x）的極值點，
∴f′（3）=3-（a+1）+$\frac{a}{3}$=0，解得a=3，
當a=3時，f′（x）=$\frac{（x-1）（x-3）}{x}$，
當x變化時，

x	（0，1）	1	（1，3）	3	（3，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	遞增	極大值	遞減	極小值	遞增

故f（x）在（0，1）遞增，在（1，3）遞減，在（3，+∞）遞增；
（Ⅱ）要使得f（x）≥1恒成立，即x＞0時，$\frac{1}{2}$x²-（a+1）x+alnx≥0恒成立，
設g（x）=$\frac{1}{2}$x²-（a+1）x+alnx，則g′（x）=x-（a+1）+$\frac{a}{x}$=$\frac{（x-1）（x-a）}{x}$，
（ⅰ）當a≤0時，由g′（x）＜0得單減區間為（0，1），
由g′（x）＞0得單增區間為（1，+∞），
故g（x）_min=g（1）=-a-$\frac{1}{2}$≥0，得a≤-$\frac{1}{2}$；
（ ii）當0＜a＜1時，由g′（x）＜0得單減區間為（a，1），
由g′（x）＞0得單增區間為（0，a），（1，+∞），
此時g（1）=-a-$\frac{1}{2}$＜0，∴不合題意；
（ iii）當a=1時，f（x）在（0，+∞）上單增，此時g（1）=-a-$\frac{1}{2}$＜0，∴不合題意；
（ iv）當a＞1時，由g′（x）＜0得單減區間為（1，a），
由g′（x）＞0得單增區間為（0，1），（a，+∞），
此時g（1）=-a-$\frac{1}{2}$＜0，∴不合題意．
綜上所述：a≤-$\frac{1}{2}$時，f（x）≥1恒成立．

點評 本題考查利用導數研究函數的單調性及函數恒成立時所取的條件．考查考生的運算、推導、判斷能力．