Question

8．已知F₁（0，-1），F₂（0，1）是橢圓的兩個焦點，過F₁的直線l交橢圓于M，N兩點，若△MF₂N的周長為8，則橢圓方程為（　　）

• A． $\frac{{y}^{2}}{16}$+$\frac{{x}^{2}}{15}$=1
• B． $\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{15}$=1
• C． $\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1
• D． $\frac{{y}^{2}}{4}$+$\frac{{x}^{2}}{3}$=1

Answer 1

分析 由題意可設橢圓的標準方程為：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）．△MF₂N的周長為8，可得4a=8，又c=1，a²=b²+c²，聯立解出即可得出．

解答 解：由題意可設橢圓的標準方程為：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）．
∵△MF₂N的周長為8，∴4a=8，又c=1，a²=b²+c²，
解得a=2，b²=3．
可得橢圓的標準方程為：$\frac{{y}^{2}}{4}$+$\frac{{x}^{2}}{3}$=1．
故選：D．

點評 本題考查了橢圓的定義標準方程及其性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．