Question

20．已知三棱錐A-BCD，AD⊥平面BCD，BD⊥CD，AD=BD=2，CD=2$\sqrt{3}$，E，F(xiàn)分別是AC，BC的中點．
（1）P為線段BC上一點．且CP=2PB，求證：AP⊥DE．
（2）求直線AC與平面DEF所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）由已知得$\frac{CG}{GD}=\frac{CP}{PB}=2$，$GD=\frac{1}{3}CD=\frac{2}{3}\sqrt{3}$，從而∠DAG=30°，推導(dǎo)出AG⊥DE，AD⊥BD，從而BD⊥面ADC，進(jìn)而PG⊥DE，DE⊥面AGP，由此能求出DE⊥AP．
（2）以點D為坐標(biāo)原點，以直線DB，DC，DA分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由此能求出直線AC與平面DEF所成角的正弦值．

解答 證明：（1）∵PG∥BD，且PG交CD于G，
∴$\frac{CG}{GD}=\frac{CP}{PB}=2$，∴$GD=\frac{1}{3}CD=\frac{2}{3}\sqrt{3}$，
在△ADG中，$tan∠GAD=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，∴∠DAG=30°．
AC²=AD²+CD²=4+12=16，∴AC=4，E為中點，DE=AE=2，
∴∠ADE=60°，∴AG⊥DE．
∵AD⊥面BCD，∴AD⊥BD，
又∵BD⊥CD，AD∩CD=D，∴BD⊥面ADC，
∴PG⊥面ADC，∴PG⊥DE．
∵AG∩PG=G，∴DE⊥面AGP，AP?面AGP，
∴DE⊥AP．
解：（2）以點D為坐標(biāo)原點，以直線DB，DC，DA分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則A（0，0，2），B（2，0，0），$C（{0，2\sqrt{3}，0}）$，$E（{0，\sqrt{3}，1}）$，$F（{1，\sqrt{3}，0}）$，
$\overrightarrow{DF}=（{1，\sqrt{3}，0}）$，$\overrightarrow{DE}=（{0，\sqrt{3}，1}）$，$\overrightarrow{AC}=（{0，2\sqrt{3}，-2}）$．
設(shè)平面EDF的法向量為$\vec n=（{x，y，z}）$，
則$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{DF}•\vec n=0\\ \overrightarrow{DE}•\vec n=0\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}x+\sqrt{3}y=0\\ \sqrt{3}y+z=0\end{array}\right.$
取$n=（{3，-\sqrt{3}，3}）$．
設(shè)$\overrightarrow{AC}$，$\vec n$的夾角為θ，$cosθ=\frac{{\overrightarrow{AC}•\vec n}}{{|{\overrightarrow{AC}}|•|{\vec n}|}}=\frac{-6-6}{{4\sqrt{21}}}-\frac{{\sqrt{21}}}{7}$．
所以直線AC與平面DEF所成角的正弦值為$\frac{{\sqrt{21}}}{7}$．

點評 本題考查線線垂直的證明，考查線面角的正弦值的求法，是中檔題，注意向量法的合理運用．