Question

5．已知函數f（x）=|x-m|-1．
（1）若不等式f（x）≤2的解集為{x|-1≤x≤5}，求實數m的值；
（2）在（1）的條件下，若f（x）+f（x+5）≥t-2對一切實數x恒成立，求實數t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求得不等式f（x）≤2的解集，再根據不等式f（x）≤2的解集為{x|-1≤x≤5}，求得實數m的值．
（2）由題意可得g（x）=|x-2|+|x+3|的最小值大于或等于t-2，求得g（x）=|x-2|+|x+3|的最小值，可得t的范圍．

解答 解：（1）由f（x）≤2得，|x-m|≤3，解得m-3≤x≤m+3，
又已知不等式f（x）≤2的解集為{x|-1≤x≤5}，∴$\left\{\begin{array}{l}m-3=-1\\ m+3=5\end{array}\right.$，解得m=2．
（2）當m=2時，f（x）=|x-2|-1，由于f（x）+f（x+5）≥t-2對一切實數x恒成立，
則|x-2|+|x+3|-2≥t-2對一切實數x恒成立，即|x-2|+|x+3|≥t對一切實數x恒成立，
設g（x）=|x-2|+|x+3|，
于是$g（x）=|x-2|+|x+3|=\left\{\begin{array}{l}-2x-1，x＜-3\\ 5，-3≤x≤2\\ 2x+1，x＞2.\end{array}\right.$，
所以當x＜-3時，g（x）＞5；當-3≤x≤2時，g（x）=5；當x＞2時，g（x）＞5．
綜上可得，g（x）的最小值為5，∴t≤5，
即t的取值范圍為（-∞，5]．

點評 本題主要考查絕對值不等式的解法，函數的恒成立問題，體現了轉化的數學思想，屬于中檔題．