Question

14．自貢某工廠于2016年下半年對生產工藝進行了改造（每半年為一個生產周期），從2016年一年的產品中用隨機抽樣的方法抽取了容量為50的樣本，用莖葉圖表示（如圖）．已知每個生產周期內與其中位數誤差在±5范圍內（含±5）的產品為優質品，與中位數誤差在±15范圍內（含±15）的產品為合格品（不包括優質品），與中位數誤差超過±15的產品為次品．企業生產一件優質品可獲利潤20元，生產一件合格品可獲利潤10元，生產一件次品要虧損10元
（Ⅰ）求該企業2016年一年生產一件產品的利潤為10的概率；
（Ⅱ）是否有95%的把握認為“優質品與生產工藝改造有關”．
附：

P（K2≥k）	0.050	0.010	0.001
k	3.841	6.635	10.828

K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）確定上、下半年的數據，可得“中位數”，優質品，合格品，次品的個數，可得該企業2016年一年生產一件產品的利潤為10的概率；
（Ⅱ）求出K²，與臨界值比較，即可得出是否有95%的把握認為“優質品與生產工藝改造有關”．

解答 解：（Ⅰ）上半年的中位數是35，優質品有6個，合格品有10個，次品有9個；下半年的“中位數”為33，優質品有10個，合格品有10個，次品有5個，
∴該企業2016年一年生產一件產品的利潤為10的概率為$\frac{20}{50}$=0.4；
（Ⅱ）由題意得：

	上半年	下半年	合計
優質品	6	10	16
非優質品	19	15	34
	25	25	50

K²=$\frac{50（6×15-19×10）^{2}}{25×25×16×34}$=1.47
由于1.47＜3.841所以沒有95%的把握認為“優質品與生產工藝改造有關”．

點評 本題考查概率的計算，考查獨立性檢驗的運用，考查學生的計算能力，比較基礎．