Question

4．已知p：?x∈[$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$]，2x＜m（x²+1），q：函數f（x）=4^x+2^x+1+m-1存在零點，若“p且q”為真命題，則實數m的取值范圍是（$\frac{4}{5}$，1）．

Answer 1

分析 分別求出p，q為真時的m的范圍，取交集即可．

解答 解：已知p：?x∈[$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$]，2x＜m（x²+1），
故m＞$\frac{2x}{{x}^{2}+1}$，
令g（x）=$\frac{2x}{{x}^{2}+1}$，則g（x）在[$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$]遞增，
故g（x）≤g（$\frac{1}{2}$）=$\frac{4}{5}$，
故p為真時：m＞$\frac{4}{5}$；
q：函數f（x）=4^x+2^x+1+m-1=（2^x+1）²+m-2，
令f（x）=0，得2^x=$\sqrt{2-m}$-1，
若f（x）存在零點，
則$\sqrt{2-m}$-1＞0，解得：m＜1，
故q為真時，m＜1；若“p且q”為真命題，
則實數m的取值范圍是：（$\frac{4}{5}$，1），
故答案為：（$\frac{4}{5}$，1）．

點評 本題考查了復合命題的判斷，考查函數恒成立問題以及指數函數的性質，是一道中檔題．