Question

2．已知函數f（x）=x-alnx+b，a，b為實數．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y=2x+3，求a，b的值；
（Ⅱ）若|f′（x）|＜$\frac{3}{{x}^{2}}$對x∈[2，3]恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）根據導數的幾何意義可得f′（1）=2，f（1）=5，列方程組解出a，b即可；
（II）分離參數得出x-$\frac{3}{x}$＜a＜x+$\frac{3}{x}$，分別求出左側函數的最大值和右側函數的最小值即可得出a的范圍．

解答 解：（I）f′（x）=1-$\frac{a}{x}$，
∵曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y=2x+3，
∴f′（1）=2，f（1）=5，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1-a=2}\\{1+b=5}\end{array}\right.$，解得a=-1，b=4．
（II）∵|f′（x）|＜$\frac{3}{{x}^{2}}$對x∈[2，3]恒成立，即|1-$\frac{a}{x}$|＜$\frac{3}{{x}^{2}}$對x∈[2，3]恒成立，
∴|x-a|＜$\frac{3}{x}$對x∈[2，3]恒成立，
∴x-$\frac{3}{x}$＜a＜x+$\frac{3}{x}$對x∈[2，3]恒成立，
設g（x）=x-$\frac{3}{x}$，h（x）=x+$\frac{3}{x}$，x∈[2，3]，
則g′（x）=1+$\frac{3}{{x}^{2}}$＞0，h′（x）=1-$\frac{3}{{x}^{2}}$＞0，
∴g（x）在[2，3]上是增函數，h（x）在[2，3]上是增函數，
∴g_max（x）=g（3）=2，h_min（x）=h（2）=$\frac{7}{2}$．
∴a的取值范圍是[2，$\frac{7}{2}$]．

點評 本題考查了導數的幾何意義，導數與函數單調性的關系，函數最值的計算，屬于中檔題．