Question

10．對于函數(shù)f（x）（x∈D），若存在正常數(shù)T，使得對任意的x∈D，都有f（x+T）≥f（x）成立，我們稱函數(shù)f（x）為“T同比不減函數(shù)”．
（1）求證：對任意正常數(shù)T，f（x）=x²都不是“T同比不減函數(shù)”；
（2）若函數(shù)f（x）=kx+sinx是“$\frac{π}{2}$同比不減函數(shù)”，求k的取值范圍；
（3）是否存在正常數(shù)T，使得函數(shù)f（x）=x+|x-1|-|x+1|為“T同比不減函數(shù)”；若存在，求T的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)T同比不減函數(shù)的定義即可證明，
（2）根據(jù)T同比不減函數(shù)的定義，分離參數(shù)得到k≥$\frac{2\sqrt{2}}{π}$sin（x-$\frac{π}{4}$），根據(jù)三角形函數(shù)的性質(zhì)即可求出k的范圍，
（3）畫出函數(shù)f（x）的圖象，根據(jù)圖象的平移即可求出T的范圍．

解答 解：（1）∵f（x）=x²，
∴f（x+T）-f（x）=（x+T）²-x²=2xT+T²=T（2x+T），
由于2x+T與0的小無法比較，
∴f（x+T）≥f（x）不一定成立，
∴對任意正常數(shù)T，f（x）=x²都不是“T同比不減函數(shù)，
（2）∵函數(shù)f（x）=kx+sinx是“$\frac{π}{2}$同比不減函數(shù)，
∴f（x+$\frac{π}{2}$）-f（x）=k（x+$\frac{π}{2}$）+sin（x+$\frac{π}{2}$）-kx-sinx=$\frac{kπ}{2}$+cosx-sinx=$\frac{kπ}{2}$-$\sqrt{2}$sin（x-$\frac{π}{4}$）≥0恒成立，
∴k≥$\frac{2\sqrt{2}}{π}$sin（x-$\frac{π}{4}$），
∵-1≤sin（x-$\frac{π}{4}$）≤1，
∴k≥$\frac{2\sqrt{2}}{π}$，
（3）f（x）=x+|x-1|-|x+1|圖象如圖所示，由圖象可知，只要把圖象向左至少平移4個(gè)單位，即對任意的x∈D，都有f（x+T）≥f（x）成立，
∴T≥4．

點(diǎn)評 本題考查了新定義的理解和應(yīng)用，考查了學(xué)生的分析問題，應(yīng)用問題，解決問題的能力，屬于中檔題．