Question

15．在極坐標系中，圓C的極坐標方程為：ρ²=4ρ（cosθ+sinθ）-6．若以極點O為原點，極軸所在直線為x軸建立平面直角坐標系．
（Ⅰ）求圓C的直角坐標方程及其參數方程；
（Ⅱ）在直角坐標系中，點P（x，y）是圓C上動點，求x+y的最大值，并求出此時點P的直角坐標．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用直角坐標與極坐標間的關系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，進行代換即得圓C的直角坐標方程，從而可得參數方程；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，x+y=4+$\sqrt{2}$（cosθ+sinθ）=4+2sin（$θ+\frac{π}{4}$），即可求x+y的最大值，并求出此時點P的直角坐標．

解答 解：（Ⅰ）因為ρ²=4ρ（cosθ+sinθ）-6，
∴x²+y²=4x+4y-6，
即（x-2）²+（y-2）²=2為圓C的直角坐標方程．      …（4分）
所以所求的圓C的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\sqrt{2}cosθ}\\{y=2+\sqrt{2}sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數）．                      …（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，x+y=4+$\sqrt{2}$（cosθ+sinθ）=4+2sin（$θ+\frac{π}{4}$）        …（8分）
當 $θ=\frac{π}{4}$時，即點P的直角坐標為（3，3）時，x+y取到最大值為6．…（10分）

點評 本題考查點的極坐標和直角坐標的互化，考查參數方程的運用，屬于中檔題．