Question

1．如圖，AD與BC是四面體ABCD中互相垂直的棱，BC=2，若AD=6，且AB+BD=AC+CD=10，則四面體ABCD的體積的最大值是$2\sqrt{15}$．

Answer 1

分析 作BE⊥AD于E，連接CE，說(shuō)明B與C都是在以AD為焦距的橢球上，且BE、CE都垂直于焦距AD，BE=CE．取BC中點(diǎn)F，推出四面體ABCD的體積的最大值，當(dāng)△ABD是等腰直角三角形時(shí)幾何體的體積最大，求解即可．

解答 解：作BE⊥AD于E，連接CE，則AD⊥平面BEC，∴CE⊥AD，
由題設(shè)，B與C都是在以AD為焦點(diǎn)的橢球上，且BE、CE都垂直于焦距AD，
AB+BD=AC+CD=2a，顯然△ABD≌△ACD，∴BE=CE．
取BC中點(diǎn)F，∴EF⊥BC，EF⊥AD，要求四面體ABCD的體積的最大值，
∵AD是定值，只需三角形EBC的面積最大，
∵BC是定值，∴只需EF最大即可，
當(dāng)△ABD是等腰直角三角形時(shí)幾何體的體積最大，∵AB+BD=AC+CD=10，
∴AB=5，則EB=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}=4$，EF=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}-1}=\sqrt{15}$，
∴幾何體的體積為：$\frac{1}{3}$×2×$\sqrt{15}$×6×$\frac{1}{2}$=$2\sqrt{15}$．
故答案為：$2\sqrt{15}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積，考查空間想象能力，邏輯推理能力以及計(jì)算能力，是中檔題．