Question

9．已知數列{a_n}的通項公式是${a_n}=\frac{1}{{{{（n+1）}^2}}}$，（n∈N^*），記b_n=（1-a₁）（1-a₂）…（1-a_n）
（1）寫出數列{b_n}的前三項；
（2）猜想數列{b_n}通項公式，并用數學歸納法加以證明．

Answer 1

分析 （1）由題意可得，代值計算即可，
（2）猜想，檢驗n=1時等式成立，假設n=k時命題成立，證明當n=k+1時命題也成立．

解答 解：（1）${b_1}=\frac{3}{4}$，${b_2}=\frac{4}{6}$，${b_3}=\frac{5}{8}$
（2）猜想：${b_n}=\frac{n+2}{2（n+1）}$
①n=1時，${b_1}=\frac{1+2}{4}=\frac{3}{4}$
②假設n=k時，${b_k}=\frac{k+2}{2（k+1）}$
當n=k+1時b_k+1=（1-a₁）（1-a₂）…（1-a_k）（1-a_k+1）
=b_k（1-a_k+1）=$\frac{k+2}{2（k+1）}$（1-$\frac{1}{（k+2）^{2}}$）
=$\frac{k+2}{2（k+1）}$•$\frac{{k}^{2}+4k+3}{（k+2）^{2}}$=$\frac{（k+2）（k+1）（k+3）}{2（k+1）（k+2）^{2}}$=$\frac{k+3}{2（k+2）}$
綜合①②：${b_n}=\frac{n+2}{2（n+1）}$．

點評 本題考查數列的遞推公式，用數學歸納法證明等式成立．證明當n=k+1時命題也成立，是解題的難點．