Question

17．甲、乙、丙三位同學完成六道數學自測題，他們及格的概率依次為$\frac{4}{5}$、$\frac{3}{5}$、$\frac{7}{10}$，求：
（1）三人中有且只有兩人及格的概率；
（2）三人中至少有一人不及格的概率．

Answer 1

分析 （1）設事件A表示“甲及格”，事件B表示“乙及格”，事件C表示“丙及格”，三人中有且只有2人及格的概率為：p₁=P（AB$\overline{C}$）+P（A$\overline{B}$C）+P（$\overline{A}BC$），由此能求出三人中有且只有兩人及格的概率．
（2）“三人中至少有一人不及格”的對立的事件為“三人都及格”，由此利用對立事件的概率計算公式能求出三人中至少有一人不及格的概率．

解答 解：（1）設事件A表示“甲及格”，事件B表示“乙及格”，事件C表示“丙及格”，
則P（A）=$\frac{4}{5}$，P（B）=$\frac{3}{5}$，P（C）=$\frac{7}{10}$，
三人中有且只有2人及格的概率為：
p₁=P（AB$\overline{C}$）+P（A$\overline{B}$C）+P（$\overline{A}BC$）
=P（A）P（B）P（$\overline{C}$）+P（A）P（$\overline{B}$）P（C）+P（$\overline{A}$）P（B）P（C）
=$\frac{4}{5}×\frac{3}{5}×（1-\frac{7}{10}）$+$\frac{4}{5}×（1-\frac{3}{5}）×\frac{7}{10}$+（1-$\frac{4}{5}$）×$\frac{3}{5}×\frac{7}{10}$
=$\frac{113}{250}$．
（2）“三人中至少有一人不及格”的對立的事件為“三人都及格”，
三人中至少有一人不及格的概率為：
p₂=1-P（ABC）=1-P（A）P（B）P（C）=1-$\frac{4}{5}×\frac{3}{5}×\frac{7}{10}$=$\frac{83}{125}$．

點評 本題考查概率的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意互斥事件概率加法公式和相互獨立事件概率乘法公式、對立事件概率計算公式的合理運用．