Question

18．已知函數f（x）=2x-（x+1）lnx，g（x）=xlnx-ax²-1．
（1）求證：對?x∈（1，+∞），f（x）＜2；
（2）若方程g（x）=0有兩個根，設兩根分別為x₁、x₂，求證：$\frac{ln{x}_{1}+ln{x}_{2}}{2}$＞1+$\frac{2}{\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}}$．

Answer 1

分析 （1）利用導數和函數的最值得關系即可證明，
（2）g（x）=0，分別得到lnx₁-$\frac{1}{{x}_{1}}$=ax₁，lnx₂-$\frac{1}{{x}_{2}}$=ax₂，通過兩式相加減，以及代入計算可得lnx₁x₂-2×$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$•ln$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$，再令t=$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$＞1，問題轉化為lnx₁x₂-2×$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$＞2，利用放縮和基本不等式即可證明

解答 解：（1）∵f（x）=2x-（x+1）lnx，
∴f′（x）=1-lnx-$\frac{1}{x}$，
令h（x）=1-lnx-$\frac{1}{x}$，
∴h′（x）=-$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{1-x}{{x}^{2}}$＜0，在（1，+∞）恒成立，
∴h（x）在（1，+∞）單調遞減，
∴h（x）＜h（1）=1-ln-1=0，
∴f（x）在（1，+∞）單調遞減，
∴f（x）＜f（1）=2，
∴對?x∈（1，+∞），f（x）＜2
（2）由g（x）=xlnx-ax²-1=0，得lnx-$\frac{1}{x}$=ax，
于是有lnx₁-$\frac{1}{{x}_{1}}$=ax₁，lnx₂-$\frac{1}{{x}_{2}}$=ax₂，
兩式相加得lnx₁x₂-$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=a（x₁+x₂），①，
兩式相減得ln$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$-$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=a（x₂-x₁），②，
由②可得$\frac{ln\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$+$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}$=a，③，
將③代入①可得，
lnx₁x₂-$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=（$\frac{ln\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$+$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}$）（x₁+x₂），
即lnx₁x₂-2×$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$•ln$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$，
不妨設0＜x₁＜x₂，t=$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$＞1，
則$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$•ln$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$=$\frac{t+1}{t-1}$lnt，
由（1）可得$\frac{t+1}{t-1}$lnt＞2，
∴lnx₁x₂-2×$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$＞2，
∵lnx₁x₂-2×$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$＜$\frac{4\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}}{{x}_{2}{x}_{1}}$=lnx₁x₂-$\frac{4}{\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}}$=2ln$\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}$-$\frac{4}{\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}}$，
∴2ln$\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}$-$\frac{4}{\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}}$＞2，
∴ln$\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}$-$\frac{2}{\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}}$＞1，
即$\frac{ln{x}_{1}+ln{x}_{2}}{2}$＞1+$\frac{2}{\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}}$．

點評 本題考查了導數和函數的最值，以及函數零點的問題，以及不等式的證明，考查了學生的運算能力和轉化能力，屬于難題