Question

15．如圖，F₁，F₂分別是雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的左、右焦點，過F₁的直線l與雙曲線分別交于點A，B，若△ABF₂為等邊三角形，則雙曲線的漸近線的斜率為（　　）

• A． ±$\sqrt{3}$
• B． ±2
• C． $±\sqrt{6}$
• D． ±$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 根據雙曲線的定義算出△AF₁F₂中，|AF₁|=2a，|AF₂|=4a，由△ABF₂是等邊三角形得∠F₁AF₂=120°，利用余弦定理算出c²=7a²，結合雙曲線漸近線方程即可的結論．

解答 解：根據雙曲線的定義，可得|AF₁|-|AF₂|=2a，
∵△ABF₂是等邊三角形，即|AF₂|=|AB|
∴|BF₁|=2a
又∵|BF₂|-|BF₁|=2a，
∴|BF₂|=|BF₁|+2a=4a，
∵△BF₁F₂中，|BF₁|=2a，|BF₂|=4a，∠F₁BF₂=120°
∴|F₁F₂|²=|BF₁|²+|BF₂|²-2|BF₁|•|BF₂|cos120°
即4c²=4a²+16a²-2×2a×4a×（-$\frac{1}{2}$）=28a²，
解得c²=7a²，
∴b=$\sqrt{6}$a，
∴雙曲線的漸近線的斜率為±$\sqrt{6}$，
故選C．

點評 本題主要考查雙曲線的定義和簡單幾何性質等知識，根據條件求出a，b的關系是解決本題的關鍵．